量子物理期末复习

📘 量子物理知识体系

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🌅 第一章：量子概念的诞生

经典物理的困境

• 黑体辐射问题：经典理论预言紫外发散
  • 韦恩位移定律：$\lambda_{\text{max}} T = b$
  • 斯特潘-玻尔兹曼定律：$I = \sigma T^4$
• 光电效应问题：经典波动理论无法解释

量子概念的提出

• 普朗克量子化：$E = nh\nu$，能量量子化
• 爱因斯坦光量子：$E_k = h\nu - \phi$，光的粒子性
• 德布罗意物质波：$\lambda = \frac{h}{p}$，粒子的波动性

早期量子模型

• 玻尔原子模型：$E_n = -\frac{m e^4}{2 \hbar^2 n^2} = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}$
• 康普顿散射：$\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos \theta) = 2 \lambda \sin^2 \frac{\theta}{2}$

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🌊 第二章：波函数与薛定谔方程

波函数的引入

• 波粒二象性：粒子既有波动性又有粒子性
• 波函数定义：$\psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ 用位矢r表示： $$\psi(\vec{r}, t) = \Psi_0 e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\vec{p} \cdot \vec{r})}$$
• 统计诠释(归一化)：$|\psi(x,t)|^2$ 是例子在x处的概率密度

波函数的性质

• 归一化条件：$\int |\psi(\vec{r}, t)|^2 \, dV = 1$
• 标准条件：单值、有限、连续、平方可积
• 边界条件：$\psi$ 和 $\frac{d\psi}{dx}$ 连续
• 波函数的唯一性：增加常数描述同一粒子物理状态

薛定谔方程

• 含时方程：$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi$
• 定态方程：$\hat{H} \psi = E \psi$
• 哈密顿算符：$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r})$
• • 概率流密度：$\vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*)$
• 概率守恒方程：$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0$，$\rho = |\psi|^2$
• 薛定谔方程的作用：
  • 描述量子系统的时间演化
  • 通过解方程得到波函数（列定态方程->解微分方程->通过性质得到参数）
  • 波函数的平方给出粒子位置的概率分布

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🔧 第三章：算符理论与测量

算符的引入

• 算符定义：物理量 → 厄密算符（注：量子力学中的算符都是线性的）
• 常用算符：
  • 位置：$\hat{x} = x$
  • 动量：$\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$
  • 能量（哈密顿量）：$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x)$
• 厄密算符：
  • 定义式：$\hat{A}^\dagger = \hat{A}$
  • 或者表示为：$∫ φ^*(x) Âψ(x) dx = ∫ [Âφ(x)]^* ψ(x) dx$

本征值问题

• 本征方程：$\hat{A} \psi_n = a_n \psi_n$ （类比于线性代数中的特征向量和特征值）
• 厄密性质：
  • 本征值为实数
  • 本征函数正交：$\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{mn}$
  • $\int \psi_m^*(x) \psi_n(x) \, dx = \delta_{mn} = 0$ (if m ≠ n)
  • 本征函数完备：任何波函数可用其本征函数展开

态的展开与测量

• 态展开：$|\psi\rangle = \sum c_n |\phi_n\rangle$
• 展开系数：$c_n = \langle \phi_n | \psi \rangle$
• 积分形式：
  $\psi(x) = \int c_n \phi_n(x) \, dx$， $c_n = \int \phi_n^*(x) \psi(x) \, dx$, cn 是波函数在本征态上的投影系数
• 测量假设：
  • 测量结果只能是本征值 $a_n$
  • 测量概率：$P(a_n) = |c_n|^2$
  • 测量平均值：$\langle A \rangle = \sum_n a_n |c_n|^2 = \int \psi^* \hat{A} \psi \, dx$

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🎯 第四章：不确定性与对易关系

不确定性原理

• 海森堡关系：$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$
• 能量-时间关系：$\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$

对易关系

• 对易子定义：$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$
• 基本对易关系：$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$
• 角动量对易关系：
  • $[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar \hat{L}_k$（循环）
  • $$[\hat{L}^2, L_i] = 0$$
• 角动量本征值方程：
  • $$\hat{L}^2 |l, m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |l, m\rangle$$
  • $$\hat{L}_z |l, m\rangle = \hbar m |l, m\rangle$$
• 对易与测量：对易算符可同时精确测量

完全集理论

• 完全集定义：完全确定态所需的最小对易算符集
• 完备性条件：$\sum_n |\phi_n\rangle\langle\phi_n| = I$

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📦 第五章：典型量子系统

势阱问题

• 无限深势阱：

  • 波函数：$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right)$ 正交
  • 能级：$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$
  • E1为零点能，即粒子无法处于完全静止状态

• 隧道效应：$T \sim e^{-2\kappa a}$

谐振子

• 能级公式：$E_n = \hbar \omega(n + \frac{1}{2})$
• 零点能：基态能量非零

氢原子

• 量子数：$n, l, m$
• 本征方程微分具体形式：$-\frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)\Phi + \frac{\hat{L}^2}{2mr^2}\Phi - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\Phi = E\Phi$
• 能级：$E_n = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}$

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🌀 第六章：自旋与全同粒子

电子自旋

• 自旋算符：$\hat{S}_z = \pm \frac{\hbar}{2}$
• 泡利矩阵：描述自旋1/2系统
  

全同粒子统计

• 费米子：半整数自旋，反对称波函数，满足泡利不相容原理
• 玻色子：整数自旋，对称波函数，不满足泡利不相容原理

双态系统

• 氨分子模型：$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)$

在态空间 , 中，用矩阵写出哈密顿算符：

$$\hat{H} = \begin{bmatrix} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{bmatrix}$$

令 ，解这个本征值问题，可以得到两个本征态：

$$\begin{aligned} |\psi_+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle + |2\rangle) \quad \text{（对称态）} \\ |\psi_-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle - |2\rangle) \quad \text{（反对称态）} \end{aligned}$$

对应能量本征值为：

$$E_+ = E_0 - A, \quad E_- = E_0 + A$$

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🎪 核心思想总结

量子力学的基本假设

1. 态假设：波函数完全描述量子态
2. 算符假设：物理量对应厄密算符
3. 测量假设：测量结果是本征值，概率是$|c_n|^2$
4. 演化假设：态遵循薛定谔方程演化
5. 叠加假设：任意态可由本征态线性叠加

量子世界的特征

• 波粒二象性：既是波又是粒子
• 量子化：物理量取分立值
• 概率性：测量结果具有概率性
• 不确定性：不能同时精确知道所有物理量
• 叠加性：可处于多种状态的叠加
• 纠缠性：粒子间存在量子关联

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